ПРИЛОЖЕНИЕ К УРОКУ 3.
РАСЧЕТ ВОЗРАСТА ЗЕМНОЙ АТМОСФЕРЫ ПО МЕТОДУ УГЛЕРОД-14
Говоря об углеродном методе датировки, мы отметили, что скорость образования углерода-14 в атмосфере выше скорости распада его. Эта разница возникает вследствие того, что равновесное состояние еще не достигнуто. Скорость образования 14С примерно постоянна, а скорость распада, пропорциональная концентрации, продолжает еще расти, догоняя скорость образования. Только когда скорости образования и распада уравняются, наступит равновесное состояние и концентрация 14С существенно меняться не будет.
Попробуем определить закон изменения концентрации 14С в атмосфере, исходя из следующих простых предположений:
1. Будем считать, что скорость образования постоянна во времени и равна нынешнему значению и = 2,5·10^4 атомов/м2·с. Здесь мы пренебрегаем тем, что солнечная активность может меняться со временем, а также и тем, что защищенность атмосферы от солнечного излучения также может быть разной в разные времена. По окончании расчета мы постараемся хотя бы качественно учесть влияние этих факторов.
2. Будем считать скорость распада строго пропорциональной концентрации изотопа, т.е. в любой момент времени будем полагать
v = kс, (1)
где v – скорость распада в тех же единицах, что и u – скорость образования, с – концентрация 14С в данный момент, k – постоянный коэффициент, не зависящий от времени, что строго говоря неверно, если скорость света меняется.
3. Начальную концентрацию 14С в атмосфере примем равной нулю. Если верно соотношение (1), то распад 14С должен происходить по обычному закону радиоактивного распада:
с = c0·exp(– kt). (2)
По этой формуле можно найти связь между коэффициентом k и периодом полураспада Т(0,5). Действительно, по определению Т(0,5):
0,5с0 = c0·exp(– kТ(0,5)).
Откуда:
k= – ln0,5/Т(0,5). (3)
Таким образом, зная период полураспада, будем полагать известным и k. Теперь постараемся вывести закон изменения концентрации 14С в атмосфере земли, а с использованием его и известных на сегодняшний день значений скоростей образования и распада, определим возраст атмосферы земли в нашей модели.
В произвольный момент времени t выделим некоторый малый промежуток dt, в продолжение которого концентрация 14С изменится так мало, что скорость распада останется практически неизменной. За это время концентрация с изменится на dc<<c. Найти это приращение концентрации можно как разность между образованием и распадом. За время dt образуется udt атомов углерода, а распадется vdt. Таким образом:
dc = udt – vdt
или, используя (1):
dc = udt – kcdt.
Поделив обе части на dt, получим:
dc/dt = u – kc (4)
или в иных обозначениях:
с' = u – kс.
Если теперь мы перейдем к пределу при dt стремящемся к нулю, наше приблизительное равенство станет строгим. Когда в курсе математики вводится понятие производной, проделываются аналогичные операции над малыми приращениями аргумента и функции.
Полученное нами уравнение является простейшим дифференциальным уравнением. Его решением является не число, а функция, т.е. формула зависимости с от t.
Дифференциальных уравнений в средней школе не решают, но мы постараемся угадать решение такого простого уравнения, вспомнив свойства показательной функции.
Уравнение (4) показывает нам такую функцию, производная которой пропорциональна ей самой. Вы уже знаете, что это свойство показательной функции.
Для удобства решения (4) произведем в нем замену переменной. Введем новую переменную
z = и – kс. (5)
Возьмем производную от обеих частей:
z' = – kc. (6)
Теперь подставим в (4) и получим:
z' = – kz. (7)
Мы догадываемся, что функция z есть экспонента.
И действительно, уравнению (7) удовлетворит любая функция вида z = A·exp(-kt), в чем легко убедиться, взяв от нее производную. Нужно только полагать, что постоянная А не зависит от времени.
Чтобы теперь найти нужное из множества решений дифференциального уравнения – иными словами, чтобы определить нужное нам значение постоянной А, используем начальное условие.
Но для этого вернемся к прежней переменной с вместо z. Получим:
и – кс = A·exp(– kt) (8)
Наше начальное условие есть предположение о том, что при при t=0 и с=0. Подставив эти значения в (8), получим, что А = и. Иными словами,
и – kс = и·exp(– kt) (9)
или, разрешая относительно с:
c = (u/k)·(1 – exp(– kt)) (10)
График этой функции очень похож на зависимость скорости изменения концентрации от времени, который мы уже разбирали на уроке (рис. 10).
Ясно, что так и должно быть, если скорость пропорциональна концентрации, т.е. производная функции пропорциональна ей самой. Концентрация стремится к своему равновесному значению. При этом равновесном значении скорости образования и распада станут равными, и концентрация, соответственно, меняться не будет.
Современный момент на этом графике обозначим буквой Т. Ясно, что эта точка довольно далеко отстоит от равновесного состояния. Как ее определить? Можно было бы использовать значение концентрации 14С в современных живых организмах, вообще на поверхности земли, подставив это значение в (10) и разрешив его относительно Т.
Мы же, располагая данными только современных скоростей образования и распада, возьмем производную от (10) и приравняем к разности современных значений u и v, известных нам на нынешний день.
Действительно, согласно (4):
с'= и·кс – u·v. (11)
Нужно только вместо v подставить современное значение скорости распада. Итак, берем производную от выражения (10):
с'= u·exp(– kt). (12)
И из (11) и (12) находим:
T = ln(1 – (v/u))/k. (13)
Или, заменяя согласно (3) k на Т0,5, получим:
T = T(0,5)·ln(1 – (v/u))/ln0,5. (14)
Подставляя в (14) экспериментальные данные и = 2,5·10^4, v = 1,6·10^4 атомов/м2·с и Т(0,5) = 5700 лет, получим Т = 8400 лет. Это вполне правдоподобные цифры, и теперь у нас есть даже возможность качественно оценить влияние наших упрощающих предположений, сделанных в самом начале.
Прежде всего, если скорость образования 14С была меньше, чем ныне, благодаря вероятно существовавшему защитному водно-паровому экрану земли, то из (14) следует, что и Т должно быть меньше, то есть 8400 лет – завышенная цифра возраста.
Далее, если скорость света в прошлом была больше и распад шел быстрее, то и период полураспада был меньше, – значит, по (14) и наше значение Т также должно быть меньше.
Мы полагаем, что такой закон нарастания концентрации, который дает нам формула (10), следовало бы считать действующим, начиная со времени после потопа. До потопа облучение атмосферы было, очевидно, существенно меньше теперешнего благодаря водно-паровому экрану. Полученное же нами значение возраста несколько завышено по сравнению с библейским значением – очевидно, благодаря трудно учитываемому изменению скорости света, а значит, и плохо предсказуемому нарастанию периода полураспада со временем.
В любом случае 8400 лет – скорее завышенное, чем заниженное значение возраста облучаемой атмосферы.
Вот что реально дает ученым углеродный метод. Будучи задуман, как оружие против креационизма, он по Промыслу Божию сыграл самую серьезную роль в подтверждении теории недавнего сотворения земли.
